تفریق رابا
a-b=a+(-b)
و تقسیم رابا: a/b=ab-1 ، به شرطی که 0≠b ، تعریف می کنیم.
(2) ترتیب
میدانی چون R را مرتب می نامیم اگر زیر مجموعه ای چون وجود داشته باشد که:
1)
2)
3)
منظور از R+ در بندهای 1 تا 3 فوق اعداد صحیح مثبت می باشد.

اصل کمال
عضوی چون a را از R یک کران بالای زیرمجموعه ای چون می خوانیم اگر به ازای هر داشته باشیم . هر مجموعه ای چون S را از بالا کراندار می گوئیم هرگاه دارای کران بالا باشد. عضوی چون λ را از R کوچکترین کران بالای S می نامیم اگر:

1. به ازای هر ، (λ یک کران بالا باشد)
2. ( به ازای هر ) ، (λ بین کرانهای بالا و کوچکترین باشد).

اگر S زیرمجموعه ای ناتهی از R و S از بالا کراندار باشد، آنگاه S در R دارای یک کوچکترین کران بالاست.
ساختن اعداد ، خود اثری است از قرن نوزدهم که در آن زمان اعداد طبیعی بعنوان پایه ریاضیات پذیرفته شد، ولی درک کاملی از اعداد حقیقی وجود نداشت.

در آن قرن اثبات این مطلب که در ریاضیات اعداد حقیقی اشیا معتبری هستند اهمیت داشت، و بنابراین ساختن R از N (اعداد طبیعی) موثر واقع شد. ولی امروزه که انجام پذیر بودن این کار به اثبات رسیده مسائل روانی و فلسفی مربوط جدیت خود را از دست داده اند.

اگر به جای N وجود R را اصل قرار دهیم، بی ضرر خواهیم بود. ولی با این کار ، بسیار ساده به نتیجه خواهیم رسید. زیرا همان طور که می دانیم .
از اعداد حقیقی بعنوان یک میدان مرتب کامل یاد می شود. و هر میدان مرتب کامل با R یکریختی ترتیبی دارد.
اعداد طبیعی یا اعداد صحیح مثبت اعدادی در دستگاه اعداد عربی هستند که برای شمردن به کار می‌روند. مجموعه اعداد طبیعی {...،۳،۲،۱} است.

در این مجموعه عدد صفر وجود ندارد و با اضافه کردن آن، مجموعه اعداد حسابی به وجود می‌آید. این مجموعه یک مجموعه نامتناهی است.

در ریاضیات، مجموعه اعداد طبیعی را با نماد N نمایش می‌دهند. این حرف از آغاز واژه انگلیسی Natural، به معنای طبیعی، گرفته شده است.
اهداف مربوط به مفاهیم زبانی از اعداد کاردینال و ترتیبی، (به اعداد فارسی نگاه کنید) است. مفهوم بعد این است که از یک شماره فقط برای نامگذاری استفاده می‌شود.

خواص از اعداد طبیعی مربوط به ابداع، مانند توزیع اعداد اول، در نظریه اعداد مورد مطالعه قرار گرفته است. مشکلات مربوط به شمارش و دستور، مانند شمارش پارتیشن، در ترکیبیات مورد مطالعه قرار گرفتند.
مجموعه اعداد صحیح به مجموعه اعداد طبیعی، قرینه اعداد طبیعی (یا اعداد متناظر منفی اعداد طبیعی)، و {۰} (مجموعه ای که تنها عدد صفر عضو آن است) گفته می‌شود.

به زبان دیگر اعداد علامت دار (... , ۳+ , ۲+ , ۱+ , ۰ , ۱- , ۲- , ۳- , ...) را اعداد صحیح می‌نامیم. این مجموعه شامل اعداد صحیح مثبت و صفر و اعداد صحیح منفی است. در ریاضیّات، معمولاً این مجموعه را با Z یا \mathbb{Z} (ابتدای کلمه آلمانی Zahlen به معنی اعداد) نشان می‌دهند. همانند مجموعهٔ اعداد طبیعی، مجموعهٔ اعداد صحیح نیز یک مجموعه شمارای نامتناهی‌ست.

شاخه‌ای از ریاضیّات که به مطالعه اعداد صحیح می‌پردازد، نظریهٔ اعداد نام دارد. درضمن برای بدست اوردن عدد صحیح. عددطبیعی را ضربدردو می کنیم:عدد طبیعی*2=عدد صحیح

خواص جبری
همانند اعداد طبیعی، \mathbb{Z} نیز نسبت به دو عمل جمع و ضرب بسته است. این بدان معناست که حاصل جمع و حاصل ضرب دو عدد صحیح، خود، یک عدد صحیح است.

بر خلاف مجموعهٔ اعداد طبیعی، از آنجا که اعداد صحیح منفی، و به ویژه، عدد صفر هم به \mathbb{Z} تعلق دارند، این مجموعه، نسبت به عمل تفریق نیز بسته است. اما \mathbb{Z} تحت عمل تقسیم بسته نیست، زیرا خارج قسمت تقسیم دو عدد صحیح، لزوماً عددی صحیح نخواهد بود و به کسرهایی که از تقسیم دو عدد صحیح حاصل‌ آمده باشد، اعداد گویا گفته میشود.

در مبحث جبر مجرد، پنج خاصیّت اوّل در مورد جمع، نشان می‌دهد که مجموعهٔ Zبه همراه عمل جمع یک گروه آبلی است. امّا، از آن جا که Zنسبت به ضرب عضو وارون (یا معکوس) ندارد، مجموعهٔ اعداد صحیح، به همراه عمل ضرب، گروه نمی‌سازد.

مجموعهٔ ویژگی‌های ذکر شده حاکی از این است که Z، به همراه عملیّات ضرب و جمع، یک حلقه است. امّا به دلیل نداشتن وارون ضربی، میدان نیست. مجموعهٔ اعداد گویا را باید کوچک‌ترین میدانی دانست که اعداد صحیح را در بر می‌گیرد.
اگرچه تقسیم معمولی در اعداد صحیح تعریف شده نیست، خاصیّت مهمّی در مورد تقسیم وجود دارد که به الگوریتم تقسیم مشهور است.

یعنی به ازاء هر دو عدد صحیح و دل‌خواه a و b) b مخالف صفر)، q و r منحصر به فردی متعلق به مجموعهٔ اعداد صحیح وجود دارد، به طوری که: a = q × b + r که در این جا، q خارج قسمت و r باقیمانده تقسیم a بر b است. این کار اساس الگوریتم اقلیدس برای محاسبهٔ بزرگ‌ترین مقسوم علیه مشترک را تشکیل می‌دهد.

همچنین در جبر مجرد، بر اساس خواصی که در بالا ذکر شد، Zیک دامنه اقلیدسی است و در نتیجه Zدامنه ایده‌آل اصلی می‌باشد و هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از یک را می‌توان به طور یکتا به حاصل‌ضرب اعداد اوّل تجزیه کرد (قضیه اساسی علم حساب).

کاردینالZ
کاردینال (تعداد از اعضای مجموعه) مجموعهٔ Z، برابر الف-صفر است . این یعنی که تعداد اعضای این مجموعه با تعداد اعضای مجموعه‌هایN،W و Qبرابر است.

هیپاتیا زنی یونانی که به عنوان نخستین زن برجستهٔ ریاضی‌دان شناخته می‌شود. او استاد فلسفه در شهر اسکندریه بود و در علم نجوم تبحر داشت. وی در دوران حکومت روم بر مصر در اسکندریه زندگی می‌کرد و به دست مسیحیان و با تحریک کلیسا به اتهام جادوگری کشته شد.

پدرش تئون از ریاضی‌دانان مشهور و استاد دانشگاه اسکندریه بود.تحت تعالیم پدر ریاضیات و فلسفه را آموخت. تئون برای آموزش همه جانبهٔ او اهمیت بسیاری قائل بود و به این سبب هیپاتی هنر سخنوری و خطابه را آموخت و به ورزش‌هایی چون سوارکاری و شنا پرداخت. تئون او را با تمامی نظام‌های مذهبی آن زمان آشنا کرد و به هیپاتیا تفکر دور از تعصب را آموخت.

بخش عمده‌ای از تعلیم او به سفرهایش اختصاص دارد. برخی معتقدند او بیش ده سال از عمرش را در سفر گذرانده است. او سفر کوتاهی به آتن داشت و در مدرسه آتن به عنوان دانشجو تحصیل کرد. در بازگشت از آتن از او برای تدریس در دانشگاه اسکندریه در رشته فلسفه و ریاضیات دعوت شد و تا پایان عمر به تدریس در این دانشگاه مشغول بود. به علت تسلط کامل به علوم زمان خود و نطق بی‌نظیرش معلم محبوبی بود. افراد بسیاری از کشورهای مختلف برای شرکت در کلاس‌های او به اسکندریه می‌آمدند و بسیاری از مردم برای شنیدن سخنان او جمع می‌شدند.

سقراط مورخ می‌نویسد:

او معلم محبوبی بود، در خانهٔ او همانند اتاق کنفرانسش سخت‌کوش‌ترین دانشجویان آن روز آمد و شد داشتند.»

با وجود پیشنهادهای ازدواجی که از جانب شاهزادگان و فلاسفه داشت، هرگز ازدواج نکرد.

وی رساله‌های فراوانی در زمینه ریاضیات نوشت که بسیاری از آن‌ها در زمان یورش مردم به معبد سراپیس اسکندریه از بین رفت. در حل مسائل جبر و هندسه راه‌حل‌های جدیدی ارائه کرد آن‌چنان‌که شناخت مخروط‌ها تا قرن هفدهم از آن‌چه او تدریس می‌کرد پیش‌تر نرفت. او مخترع «غلظت سنج» است که برای تعیین غلظت مواد حل شده در مایعات به کار می‌رود

هیپاتی پیرو افلاطون بود و به تفسیر آثار ارسطو می‌پرداخت. او عقاید نوافلاطونیان را تبلیغ می‌کرد. در یکی از نوشته‌هایش آمده:

افسانه‌ها باید تنها به عنوان افسانه و اسطوره‌ها تنها به عنوان اسطوره آموخته شوند. آموزش موهومات به عنوان حقایق چیز وحشتناکی است. ذهن کودک آنها را می‌پذیرد و به آنها اعتقاد می‌آورد و در سالهای بعد تنها با سختی و شکنجه می‌تواند از چنگ آنها رهایی یابد. در حقیقت انسان همان طور که برای برقراری حقیقت می‌جنگد باید با خرافات نیز به مبارزه برخیزد. چرا که موهومات، نامحسوس، درک‌ناکردنی و بغرنج هستند و تکذیب آن‌ها به سختی میسر می‌شود ...

نجوم

از نخستین کسانی بود که به وسیله‌ای برای راه‌یابی دریانوردان اندیشید. اسطرلاب اختراعی او تا قرن هجدهم مورد استفادهٔ دریانوردان بود

در آن زمان اسکندریه از مراکز مهم مسیحیت بود و تفکرات دیگر با عنوان کافرکیشی به شدت سرکوب می‌شدند. دانش‌هایی که هیپاتیا بر روی آن‌ها کار می‌کرد از دید روحانیون برای مردم مضر و گمراه کننده بود و این‌که یک زن به فلسفه و ریاضیات بپردازد غیرقابل تحمل بود. هیپاتی توسط «سیریل» اسقف شهر اسکندریه متهم به جادوگری و توطئه علیه مسیحیت شد.

در یکی از روزهای ماه مارس سال ۴۱۵ میلادی هنگامی که هیپاتی از کتابخانه اسکندریه بازمی‌گشت به کالسکهٔ وی حمله کردند و به طرز وحشیانه‌ای کشتند و سپس جسدش را سوزاندند. نفوذ و قدرت کلیسا مانع پیگرد و مجازات قاتلان هیپاتیا شد. پس از چندی وی توسط کلیسا به عنوان قدیسه معرفی شددر آن زمان اسکندریه از مراکز مهم مسیحیت بود و تفکرات دیگر با عنوان کافرکیشی به شدت سرکوب می‌شدند. دانش‌هایی که هیپاتیا بر روی آن‌ها کار می‌کرد از دید روحانیون برای مردم مضر و گمراه کننده بود و این‌که یک زن به فلسفه و ریاضیات بپردازد غیرقابل تحمل بود.

هیپاتی توسط «سیریل» اسقف شهر اسکندریه متهم به جادوگری و توطئه علیه مسیحیت شد. در یکی از روزهای ماه مارس سال ۴۱۵ میلادی هنگامی که هیپاتی از کتابخانه اسکندریه بازمی‌گشت به کالسکهٔ وی حمله کردند و به طرز وحشیانه‌ای کشتند و سپس جسدش را سوزاندند. نفوذ و قدرت کلیسا مانع پیگرد و مجازات قاتلان هیپاتیا شد. پس از چندی وی توسط کلیسا به عنوان قدیسه معرفی شد

وقتی که تو نزدیک منی و من سخن تو رامی شنوم با نگاهی که به پرهیزگاری ساکنان ستارگان پاک می ماند

تو را با همه وجودم می ستایم، هیپاتی!

هم کار تو را، هم زیبایی سخنت را

هم پاکی ات که به ستارگان می ماند و هم،

دانش خردمندانه جهانگیرت را ...

این شعر زیبا سروده یک شاعر یونانی است که برای هیپاتی سروده است. براستی می توان باور داشت در قرن چهارم میلادی و در زمانی که جهل و غفلت جامعه و زنان و مردان یونان را در بر داشت؛ دختری جوان به نام هیپاتی پیدا شود و شهرتی جهانگیر بیابد.

• ریاضیات نظم وتربیت است تربیت در عدالت وتنفر در بی عدالتی تربیت در اصول نظم بین اعداد در چهار عمل اصلی
• ریاضیات درس خداشناسی واصول دین است
• درس توحید است چون وحدانیت خدا را میرساند
• درس عدالت است چون به مفهوم معادله نزدیک است.
• ریاضیات درس قیامت -یوم الحساب است چون ریاضیات درستی ونادرستی را به ما می آموزد
• ریاضیات زیبایی شناسی است
• ریاضیات یک ارزش است
• ریاضیات علم وهنر است به آن معنا که می افریند می پروراند کشف مینمایدواختراع می کند
• ریاضیات جریان طبیعی تفکر بشر است
• ریاضیات مدیریت است

سرانجام ریاضیات برنامه زیستن وزندگی است زیرا:

• جهان یک ساختاری از ریاضی ست
• که معمارش بسی زین صنع راضی ست
• خدا اصل واساس وکل ومبناست
• که الحق نظم خلقت خود ریاضی ست

فهرست مطالب ریاضی عمومی 1 استاد شهشهانی دانشگاه صنعنی شریف:

• اعداد حقیقی
• اعداد مختلط
• اعداد مختلط و تبدیلات صفحه
• دنباله عددی و سری عددی
• تابع های پیوسته
• مفهوم حد
• مفهوم مشتق
• تقریب خطی
• نمودار تابع و کاربرد های آن
• بهینه سازی
• چند جمله ای تیلور
• انتگرال یک متغییری
• قضیه اساسی حساب دبرانسیل و انتگرال
• انتگرال توابع گویا
• محاسبه تقریبی انتگرال
• انتگرال های ناسره
• سری تیلور و سری توانی
• سری فوریه

در این قسمت فایل ریاضی عمومی 1استاد شهشهانی در 880صفحه برای شما عزیزان قرار گرفت.